Ecuaciones de 2º grado

Video 1

Fuentes: 

1- Recursos del Dpto de Matematicas de la Junta de Andalucia
2- Recursos Tic 
3- Vitutor 
4- Ejercicios sobre ecuaciones cuadraticas


Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación que tiene la forma de una suma de términos, todos ellos con potencias inferiores a las de un cuadrado, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomino de segundo grado o polinomio cuadrático.

 La expresión canónica general de una ecuación cuadrática es:

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. 

1. Identificación de coeficientes:

Al empezar con las ecuaciones de segundo grado, resulta complicado identificar los coeficientes a, b y c. Sin embargo, es muy fácil. Presta atención a los siguientes ejemplos.

ax² +bx +c = 0

Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola.

 Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coinciden con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser los números de soluciones de la ecuación).

Un problema de tarea

Un bate y una pelota cuestan un total de 1.10 USD. Si el bate cuesta 1 USD mas que la pelota. ¿ Cuanto cuesta la pelota entonces?

Resolución de sistemas de ecuaciones

Videos sobre este tema

1. Método de sustitución
2. Método de igualación
3. Método de reducción

                                 

Método de sustitución

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.



2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:



3 Resolvemos la ecuación obtenida:



4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.



5 Solución

Método de igualación

1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:





2 Igualamos ambas expresiones:



3 Resolvemos la ecuación:





4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:



5 Solución:

Método de reducción

1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3 Se resuelve la ecuación resultante.

4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

Desigualdad Lineal

Desigualdad Lineal

Fuente: Tutorial  

Video 1

Video 2

---

Introducción

Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación.

Resolver una inecuación consiste en encontrar todos los valores de x para los cuales se cumple la desigualdad.

Consideremos el punto x=3 en la recta real.

Este punto es frontera entre $x<3$ y $x$ > 3 . Es decir, si graficamos en la recta todos los puntos para los cuales se cumple $x$ < 3 , la gráfica incluirá todos los puntos que están a la izquierda de 3. De igual forma, si graficamos en la recta todos los puntos para los cuales se cumple $x$ > 3 , la gráfica incluirá todos los puntos que están a la derecha de 3, como se muestra en la siguiente figura:

De igual forma, $x$ + 1 = 4 es frontera entre $x$ + 1 < 4 y $x$ + 1 > 4
y, en general, $a$ x + b = c es frontera entre $a$ x + b < c y $a$ x + b > c

---

Método general para resolver inecuaciones lineales

Para resolver una inecuación de la forma:

$a$ x + b < c

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del simbolo < incluya cualquier otro simbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥, seguiremos los siguientes pasos:

1. Resolver la ecuación $a$ x + b = c para hallar la frontera entre $a$ x + b < c y $a$ x + b > c .
2. Dividir la recta real usando la solución hallada en el paso anterior como frontera.
3. Determinar el intervalo que nos interesa. Es decir, para el cual la desigualdad es cierta.
4. Escribir la solución. La solución se puede expresar de distintas formas:
• Como intervalo
• Como conjunto
• Gráficamente

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación $x$ + 1 < 4
Solución:

Paso 1: Resolver la ecuación $x$ + 1 = 4 . $x+1$ = 4 x+1 -1 = 4 -1 x = 3
Paso 2: Dividir la recta real usando x=3 como frontera
Paso 3: Determinar el intervalo que nos interesa. Para ello seleccionamos un punto de prueba por cada intervalo y evaluamos si cumple con la desigualdad.
$x+1$ < 4 0 +1 < 4 1 < 4 Como la expresión es verdadera, entonces este intervalo es solución de la inecuación.	$x+1$ < 4 4 +1 < 4 5 < 4 Como la expresión es falsa, entonces este intervalo no es solución de la inecuación.
Paso 2: Escribir la solución. Sabemos que el intervalo a la izquierda de la frontera representa la solución a la inecuación. Expresando la solución como conjunto:$x$ x < 3 Expresando la solución como intervalo$($ - ∞ , 3 ) Gráficamente

Ejemplo 2:

Resolver la siguiente inecuación $6$ x - 4 ≤ 2 + 8 x
Solución:

Paso 1: Resolver la ecuación $6$ x - 4 = 2 + 8 x . $6$ x - 4 = 2 + 8 x 6 x - 4 + 4 - 8 x = 2 + 8 x + 4 - 8 x - 2 x = 6 - 2 x - 2 = 6 - 2x = - 3
Paso 2: Dividir la recta real usando x=-3 como frontera
Paso 3: Determinar el intervalo que nos interesa. Para ello seleccionamos un punto de prueba por cada intervalo y evaluamos si cumple con la desigualdad.
$6$ x - 4 ≤ 2 + 8 x 6 ( - 4 ) - 4 ≤ 2 + 8 (- 4 ) - 28 ≤ - 30 Como la expresión es falsa, entonces este intervalo no es solución de la inecuación.	$6$ x - 4 ≤ 2 + 8 x 6 ( - 2 ) - 4 ≤ 2 + 8 ( -2 ) - 16 ≤ - 14 Como la expresión es verdadera, entonces este intervalo es solución de la inecuación.
Paso 2: Escribir la solución. Sabemos que el intervalo a la derecha de la frontera representa la solución a la inecuación. Expresando la solución como conjunto:$x$ x ≥ - 3 Expresando la solución como intervalo$[$ - 3 , ∞ ) Gráficamente

Ejercicios de sistemas de ecuaciones

Ejercicios de sistemas de ecuaciones

Fuente: http://www.vitutor.com/ecuaciones/sistemas/sisActividades.html

1 Resuelve por sustitución, igualación y reducción  el sistema:



2 Resuelve el sistema:



3 Halla las soluciones del sistema:



4 Resuelve:



5 Resuelve por sustitución, igualación y reducción :



6 Resuelve el sistema:



7 Halla las soluciones del sistema:

Problemas de sistemas de ecuaciones

1 Juan compró un ordenador y un televisor por $ 2000  y los vendió por $ 2260 .¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador ganó el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%?

2¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?

3 Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

4 Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

5 En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?

6 La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número?

7 Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado $ 3500 . Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado $ 3170 . ¿Cuál es el precio de cada artículo?

8 Encuentra un número de dos cifras sabiendo que su cifra de la decena suma 5 con la cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un número que es igual al primero menos 27.